"Η ευθραυστότητα της ομορφιάς στα μαθηματικά και στην τέχνη"
Sarah Jones Nelson και Enrico Bombieri
Μια συνεργασία υπό την αιγίδα της Μαθηματικής Σχολής, Institute for Advanced Study, Princeton, New Jersey
Δημοσιεύτηκε στο Art in the Life of Mathematicians
Anna Kepes Szemerédi, Editor, American Mathematical Society: Providence, Rhode Island, 2015
Υπάρχει ομορφιά στα μαθηματικά; Το ερώτημα αφορά μαθηματικά αντικείμενα και τις σχέσεις τους , το πραγματικό αντικείμενο των επαληθεύσιμων αποδείξεων. Οι μαθηματικοί γενικά συμφωνούν ότι η ομορφιά υπάρχει στη δομική ομορφιά των θεωρημάτων και των αποδείξεων, σε μεγάλο βαθμό ορατή μόνο στους ίδιους τους μαθηματικούς, και στη μαθηματική ομορφιά όλοι μπορούν να δουν στην τέχνη και τη φύση. Αδιαμφισβήτητα όμορφα μοτίβα αναδύονται καθολικά από τη σχέση στοιχείων και αντικειμένων σε ψηφιδωτές πλαγιές, για παράδειγμα, στη ζωγραφική τοπίου, στα ρέοντα ποτάμια και στις σπειροειδείς συμμετρίες των κουκουναριών και των κοχυλιών. Τα μαθηματικά μοτίβα σε φυσικούς σχηματισμούς σας δίνουν μια αίσθηση ομορφιάς αμετάβλητη από την ποικιλία των στοιχείων της: καθολικότητα, συμμετρία, απλότητα, κομψότητα και δύναμη.
Η κριτική της ομορφιάς στην τέχνη είναι εύθραυστη γιατί εξαρτάται από τα σχετικά κριτήρια κριτικής που ποικίλλουν χρονικά σε διαφορετικούς πολιτισμούς. Στον Λάιμπνιτς, αυτό εξήγησε τη διαφορά μεταξύ των αληθειών του γεγονότος και των λόγων που αντανακλούν την κριτική πρόθεση. Μέχρι τον ύστερο Διαφωτισμό, μια τυπική διάκριση από τον Καντ ήταν ακατανόητη μεταξύ της αντίληψης της φυσικής ομορφιάς ως όμορφου αντικειμένου και της καλλιτεχνικής ομορφιάς ως όμορφης αναπαράστασης ενός αντικειμένου. Στην παράδοση της εποχής του, ο Καντ χρησιμοποίησε την κλασική ελληνική θεωρία των αναλογιών στη φύση και στην τέχνη για να επαληθεύσει τις πεποιθήσεις του στην πραγματική αλήθεια της ομορφιάς. Ωστόσο, η ανάλυση των γεγονότων, των αξιών και του γούστου του Χιουμ, σε συνδυασμό με τη θεωρία της ηθικής και των συναισθημάτων του Σπινόζα, όπως ο φθόνος και η αγάπη, είχε ήδη κάνει την εσωτερική ζωή των ισχυρών συναισθημάτων μόνιμο κανόνα κριτικής κρίσης. Αυτό ανέτρεψε την αναγεννησιακή ιδέα ότι η τέχνη είναι ο καθρέφτης της φύσης που ενοποιεί την οπτική αλήθεια και την πραγματική ομορφιά, που εμφανίστηκε για πρώτη φορά στα νέα μαθηματικά προοπτικής του Alberti. Η κλασσική ελληνική ενοποίηση της αλήθειας, της ομορφιάς και της ηθικής καλοσύνης-ένα πλατωνικό τροπάριο για ομοϊδεάτες ρεαλιστές όπως ο Brunelleschi, ο Giotto, ο Leonardo και ο Michelangelo-έρχεται σε αντίθεση με κάθε ανήθικη κρίση ή κριτική για την ομορφιά στην αφηρημένη και όψιμη σύγχρονη τέχνη.
Ο Leon Battista Alberti ήταν φιλόσοφος και συντομογράφος ή γραμματέας της Παπικής Κουρίας. Πρώτα επισημοποίησε την προοπτική ενός σημείου στη De pictura (1435) και στη δημοτική γλώσσα Della pittura (1436). Ο Alberti συνεργάστηκε στη Φλωρεντία με τον αρχιτέκτονα Filippo Brunelleschi. Στη Ρώμη συνεργάστηκε με τον Luca Pacioli, μαθηματικό και συνεργάτη με τον Leonardo da Vinci στο Μιλάνο στο De divina proportione (1509). Ο Μπρουνελέσκι είχε αποκτήσει το μπρεβέτο του στα μαθηματικά και είχε σπουδάσει υπό τον Πάολο νταλ Πότσο Τοσκανέλι, τον Φλωρεντίνο μαθηματικό, αστρονόμο, κοσμογράφο και σύμβουλο του Κολόμβου. Ο Pacioli πιθανότατα ήταν μαθητής του Piero della Francesca, ζωγράφου, μαθηματικού και θεωρητικού του De prospectiva pingendi (1474). Αυτή η πραγματεία επισημοποίησε την εξαιρετικά συμμετρική Brera Madonna (1472-1474) με τον ίδιο τρόπο όπως το παλάτι του Αγίου Αντωνίου (περ. 1470). Η εικονογραφική προοπτική, η δισδιάστατη αναπαράσταση του τρισδιάστατου χώρου, έγινε έτσι μια φιλοσοφία και κανόνας της τέχνης που προτιμάται, είπε ο Λεονάρντο, σε όλα τα συστήματα μάθησης λόγω της θεμελίωσής του στις βεβαιότητες της φυσικής και των μαθηματικών-και της ανάθεσης προστάτων. με γεύση για trompe-l'oeil .
Η αξιοσημείωτη συνέχεια του πλατωνικού ρεαλισμού στην τέχνη και τα μαθηματικά επεκτείνεται σε μια ευρέως διαδεδομένη πεποίθηση ότι οι αριθμοί, η γεωμετρία και όλα τα μαθηματικά αποκαλύπτονται από μια απόλυτη σφαίρα αντικειμένων ή καθαρών μορφών παράδοξα ανεξάρτητα από τις αισθήσεις και τη φυσική πραγματικότητα. Κατά την πλατωνιστική άποψη, ένας μαθηματικός ανακαλύπτει προϋπάρχοντα αντικείμενα όπως η χρυσή τομή. λαμβάνοντας υπόψη ότι ο φορμαλιστής επινοεί και κατασκευάζει αποδείξεις όπως ένας αρχιτέκτονας ή ένας κατασκευαστής μαθηματικών αντικειμένων κατασκευασμένων από τα υλικά ενός δεδομένου πολιτισμού. Οι περισσότεροι μαθηματικοί είναι πλατωνικοί τις Κυριακές που εργάζονται με τυπικό τρόπο τις καθημερινές. Πολλοί παίζουν με πληθώρα αντικειμενικά διακριτών και έγκυρων μαθηματικών συστημάτων - που κάποτε ήταν καθολικά για τον Πλάτωνα - σε έναν κόσμο άφθονου πλατωνισμού.
Η χρυσή αναλογία φ είναι ένα απλό αντικείμενο που εκφράζει μια θεμελιώδη κρυφή δομή της τέχνης της Αναγέννησης. Στην ευκλείδεια γεωμετρία, φ είναι ο λόγος της πλευράς του κανονικού αστεριού-πενταγώνου προς την πλευρά του κανονικού πενταγώνου. Στα σύγχρονα μαθηματικά, φ ισούται με 1 συν την τετραγωνική ρίζα του 5 διαιρούμενη με 2:
Οι ιδιότητες της χρυσής τομής σχετίζονται βαθιά με τον αριθμό 5, ένα θέμα γοητείας από τότε που ο Πλάτωνας υποστήριξε ότι οι αριθμοί προέρχονται από προϋπάρχοντα αντικείμενα που αποκαλύφθηκαν και ανακαλύφθηκαν από τη σφαίρα των καθαρών μορφών. Η ιστορικός Annemarie Schimmel, στο Das Mysterium der Zahl , η αγγλική έκδοση The Mystery of Numbers (1983), τεκμηρίωσε τη συσχέτιση στην αρχαιότητα του αριθμού 5 με το μυστικιστικό πεντάγραμμο της καββαλιστικής γνώσης. Οι απόκρυφες παραλλαγές της Γένεσης 1:27 περιέγραφαν την Εδεμική αρχή του σύμπαντος στην οποία ο αριθμός 5 προήλθε από την ένωση των αριθμών 2 και 3, συμβολίζοντας τις πρώτες μορφές γυναίκας και άντρα, με 1 συμβολίζει τον Θεό και την ενοποίηση της φυσικής πραγματικότητας.
Δομές σε πεντάδες αναδύονται παντού στη φύση και στην τέχνη. Για παράδειγμα, το ποσοστό της χρυσής τομής είναι σαφώς ορατό στις πενταπλές συμμετρίες σε ορισμένα φυτά και λουλούδια. Ο Βιτρούβιος άνθρωπος του Λεονάρντο (1490) προτείνει ότι το ίδιο το ανθρώπινο σώμα είναι ένα αστέρι-πεντάγωνο που εκφράζει τη χρυσή τομή ως μεταφορά της φύσης και πρότυπο συμμετρίας και αναλογίας στο σχεδιασμό. Τα έργα του Πιέρο εκφράζουν πενταπλές δομές στη γραμμική γεωμετρία του commensurazione , το πρότυπό του για την κρίση του περιγράμματος και της αναλογίας. Το pala d'altare του Ο Άγιος Αντώνιος διαθέτει μια κεντρική υποδιαίρεση σε πέντε κάθετους χώρους με κάθετη υποδιαίρεση σε πέντε τμήματα. Η Brera Madonna παρουσιάζει τρεις αγίους και δύο αγγέλους στα αριστερά με και δύο αγγέλους και τρεις αγίους στα δεξιά, συμπληρώνοντας τη συμμετρία. Ένας μερικώς θωρακισμένος προστάτης στα δεξιά, ο Federigo da Montefeltro, δούκας του Ουρμπίνο, προσδίδει ένα ισχυρό στοιχείο έντασης που σπάει τη συμμετρία. Με αυτόν τον τρόπο, ο Piero αποκαθιστά μια αρμονική ισορροπία όπου ο Δούκας γονατίζει, τα χέρια προσεύχονται, στρέφοντας το βλέμμα σας διαγώνια προς την Παναγία και το βρέφος της. Ένας άλλος γνωστός πίνακας του Πιέρο, η Γέννηση (περ. 1470), βλέπει το εύθραυστο Παιδί να περιβάλλεται στα αριστερά από πέντε αγγέλους που τραγουδούν και παίζουν λαούτο, με δύο βοσκούς, τον Άγιο Ιωσήφ και τον κώλο και το βόδι στα δεξιά, με φόντο αυτό το αριστούργημα της ασυμμετρίας. η Παναγία σε λατρεία και το μυστηριώδες περιστέρι του Αγίου Πνεύματος στην κορυφή συμπληρώνουν αυτήν την τρυφερή εικόνα ταπεινοφροσύνης. Ακόμα πιο κομψά μαθηματικά είναι η Madonna del Parto του (περ. 1460), που χαρακτηρίζει το παράδοξο μιας εγκύου Παρθένου με περίγραμμα μια σκηνή με τη μορφή πενταγώνου. Ο Πιέρο σκόπευε τα έργα του να αναπαραστήσουν τα στοιχεία της βιβλικής αφήγησης σε μια συμβολική γλώσσα που ενοποίησε τον φορμαλισμό με τη μαθηματική ανάλυση. Πραγματικός μάστορας της τεχνικής, δεν σταμάτησε ποτέ μόνο στη συνείδηση και δεν άφησε τίποτα στην τύχη.
Η χρυσή τομή δεν είναι μόνο ένα απλό αρχαίο αντικείμενο. Το φ παίζει επίσης βαθύ ρόλο στη διαμόρφωση των σύγχρονων μαθηματικών. Ως παράλογος αριθμός μεταξύ 1 και 2 που απέχει περισσότερο από τους λογικούς αριθμούς, η χρυσή αναλογία έχει την ιδιότητα να είναι ο μοναδικός αριθμός μεταξύ 1 και 2 που απαιτεί τη μεγαλύτερη τιμή του παρονομαστή q για την επίτευξη μιας δεδομένης προσέγγισης με τον λογικό αριθμό p διαιρούμενο με q. Παραθέτουμε δύο εντυπωσιακά κομψούς τύπους για τη χρυσή αναλογία. Στην πρώτη, φ ισούται με την τετραγωνική ρίζα του 1 συν την τετραγωνική ρίζα του 1 συν την τετραγωνική ρίζα του 1 σε μια ένθετη κατασκευή έως το άπειρο. στο δεύτερο, φ ισούται με 1 διαιρούμενο με 1 συν 1 διαιρούμενο με 1 συν 1 διαιρείται με 1 σε μια ένθετη κατασκευή έως το άπειρο. Ο δεύτερος τύπος είναι ο πιο ενδιαφέρων από τους δύο ως το αρχικό σημείο για την απόδειξη του ακραίου παραλογισμού της χρυσής τομής.
Η ακολουθία Φιμπονάτσι, που πήρε το όνομά της από τον Λεονάρντο της Πίζας (που ονομάζεται Φιμπονάτσι), εκφράζει τη χρυσή τομή με όμορφη ακρίβεια. Ο Φιμπονάτσι το δημοσίευσε για πρώτη φορά στο Liber Abaci (1201). Είχε εργαστεί για τον πατέρα του σε ένα σπίτι κοντά στο Αλγέρι και σπούδασε υπό μουσουλμάνους μαθηματικούς κατά μήκος των εμπορικών δρόμων της Μεσογείου για να γίνει ο πιο διάσημος μαθηματικός στη μεσαιωνική Ευρώπη. Η ακολουθία Fibonacci είναι 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,. Το Το στο άπειρο, όπου κάθε αριθμός μετά τους δύο πρώτους είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων αριθμών. Δίνει τις καλύτερες λογικές προσεγγίσεις στη χρυσή αναλογία. τα κλάσματα Fn+1/Fn πλησιάζω όλο και πιο κοντά στο φ. Η ακολουθία Fibonacci εκφράζεται επίσης με τη χρυσή αναλογία:
Η ευκλείδεια γεωμετρία και η χρυσή αναλογία αποτελούν το αρχικό θεμέλιο της ομορφιάς στην ιστορία των μαθηματικών. Φανταστείτε ότι το 1899, περισσότερες από δύο χιλιετίες αφότου ο Ευκλείδης έγραψε τα στοιχεία , ο μαθηματικός Frank Morley ανακάλυψε το τελευταίο πραγματικά νέο θεώρημα στην ευκλείδεια γεωμετρία. Το θεώρημα Morley δηλώνει ότι τα τρία σημεία όπου συναντώνται τα τρίγωνα των γωνιών ενός αυθαίρετου τριγώνου είναι οι κορυφές ενός ισόπλευρου τριγώνου. Πανεμορφη! Youσως αναρωτηθείτε γιατί ένα αποτέλεσμα όπως το θεώρημα του Morley δεν συνέβη ποτέ στην κλασική ευκλείδεια γεωμετρία: πιθανότατα επειδή οι Έλληνες της κλασικής αρχαιότητας δεν μπόρεσαν να αποκτήσουν την τριτολογία μιας γωνίας χρησιμοποιώντας ευκλείδειες κατασκευές. Σήμερα οι μαθηματικοί γνωρίζουν ότι ο τεμαχισμός μιας γωνίας δεν μπορεί να γίνει στο πλαίσιο της ευκλείδειας γεωμετρίας του επιπέδου. Θεωρούν αυτό το «αρνητικό» αποτέλεσμα μια όμορφη συνέπεια της θεωρίας του Galois (1832) σχετικά με τη διαλυτότητα των αλγεβρικών εξισώσεων, που προκύπτει από βαθιά αποτελέσματα σε ομάδες μετάθεσης. Έτσι, αυτό που κάποτε ήταν ένα ελάττωμα στην ευκλείδεια γεωμετρία - το αδύνατο να αποδειχθεί το θεώρημα του Morley στο πλαίσιο του - τώρα είναι μια όμορφη ανακάλυψη που αυξάνει τις γνώσεις μας για τη γεωμετρία, τη λογική και τους αντίστοιχους σχηματισμούς συμμετρίας.
Μπορείτε να συμπεράνετε από την ιστορία μας για τη χρυσή τομή ότι είναι ένας θεμελιώδης πυλώνας όλων των μαθηματικών. Αλλά η εξίσωση Laplace Uxx + Uyy + Uzz = 0 είναι πολύ πιο σημαντικό. Εμφανίζεται ξανά και ξανά στην ανάλυση, κατά πάσα πιθανότητα, μαθηματική φυσική, αστροφυσική, χημεία, ακόμη και στη χρηματοοικονομική μηχανική - πράγματι σε όλες τις περιπτώσεις που αφορούν την κατάσταση ισορροπίας ενός συστήματος. Εκφράζει όμορφα την ισχυρή συνάφεια των μαθηματικών με βαθιά ανοιχτά ερωτήματα, για παράδειγμα, στη φιλοσοφία σχετικά με την αιτιώδη συνάφεια. Το Mécanique céleste του Laplace (1829) αναπτύσσει τη νευτώνεια μηχανική και το διαφορικό λογισμό σε σημείο που ο ντετερμινισμός να μοιάζει μια αναπόφευκτη κατάσταση φυσικής πραγματικότητας: γνωρίζοντας τις δυνάμεις και γνωρίζοντας τη θέση και την ταχύτητα κάθε σωματιδίου στο σύμπαν σε μια δεδομένη στιγμή, την κατάσταση του σύμπαντος. σε οποιαδήποτε μεταγενέστερη στιγμή καθορίζεται με μοναδικό τρόπο. έτσι με τον Λαπλάς, η τύχη, η ελεύθερη δράση ή η πράξη είναι αιτιώδεις μυθοπλασίες για τους αληθινούς νόμους της φύσης. Αλλά η εξίσωση του δεν είναι παρά ένα απλό μαθηματικό μοντέλο. Είναι σωστό ή κομψό για να αντλήσει τέτοιες σαρωτικές φιλοσοφικές συνέπειες από αυτό ή για να προτείνει ότι οι νόμοι της φύσης δεν έχουν αναθεωρηθεί ποτέ από νέες ανακαλύψεις;
Τώρα, με την έλευση της κβαντικής θεωρίας γνωρίζουμε ότι το σύστημα του Laplace δεν μπορεί να περιγράψει όλους τους μηχανισμούς του παρατηρήσιμου σύμπαντος. Στην κβαντική μηχανική η κατάσταση του σύμπαντος δίνεται από μια κυματοσυνάρτηση ψ που ικανοποιεί την εξίσωση Schrödinger, στενό συγγενή της εξίσωσης Laplace. Για τον Schrödinger, επίσης, η εξέλιξη του ψ είναι ντετερμινιστική: γνωρίζοντας ταυτόχρονα τη λειτουργία κύματος, προσδιορίζεται μοναδικά σε μεταγενέστερους χρόνους. Ωστόσο, η συνάρτηση κύματος περιγράφει μόνο την πιθανότητα αποτελεσμάτων από μια παρατήρηση. Σχεδόν έναν αιώνα μετά τη διατύπωση της κβαντικής θεωρίας, δεν υπάρχει ακόμη συναίνεση για τον τομέα της εγκυρότητάς της, ίσως επειδή έρχεται σε αντίθεση με την κλασική μηχανική και την ισχυρή άποψη- στο θεμέλιο της επιστήμης και της κοινωνίας- ότι οι φυσικές διαδικασίες και οι ανθρώπινες ενέργειες καθορίζονται από το παρελθόν και απλοί μηχανισμοί αιτίας και αποτελέσματος. Αλλά πώς μπορούν οι πράξεις που παράγουν κάτι τόσο εκπληκτικά περίπλοκο και απροσδιόριστο ως μια όμορφη νέα απόδειξη, ή ο πληθωρικός ρεαλισμός της Αναγέννησης, να προκύψουν σε ένα σύμπαν προκαθορισμένο από σταθερούς νόμους;
Η άποψη ότι τα μαθηματικά είναι εγγενή στους νόμους της φύσης, στα ανθρώπινα συναισθήματα και τις τέχνες φαίνεται θαυμάσια στην πιο διάσημη χαρακτική του Άλμπρεχτ Ντύρερ, τη Μελενκολία Ι (1514). Η κεντρική εικόνα μιας φτερωτής γυναίκας που κοιτάζει σκοτεινά προς τα μέσα - σαν ένα μαντείο που συλλογίζεται τις σκιώδεις μορφές του κόσμου - συμβολίζει το melencholia imaginativa , ένα πρώιμο σύγχρονο τροπάριο από την κλασική ελληνική ιατρική και ανάλυση των τεσσάρων χιούμορ ή ιδιοσυγκρασιών. Προσωποποιεί τη μεγαλοφυΐα της τέχνης και τη βαθιά μαθηματική πραγματικότητα: μια σφαίρα προσανατολίζει το τέλειο πεπερασμένο σύμπαν. ένα πολύεδρο, το περικομμένο ρόμβο, αντιπροσωπεύει την περιγραφική γεωμετρία των Αρχιμήδειων στερεών. αστρολάβοι και τετράγωνα υποδηλώνουν το μέτρο του χώρου και του χρόνου. Ένα λεπτό μαγικό τετράγωνο 4 x 4 ακεραίων στην άκρη του φτερού της αναφέρεται στον αριθμό Fibonacci και είναι ένα σημάδι της κρυμμένης μαθηματικής τάξης της φύσης που μετατρέπει το κακό στο καλό και νικά το άγχος, δήλωσε ο φιλόσοφος της Αναγέννησης Marsilio Ficino. Η ημερομηνία 1514, στο κέντρο της τελευταίας σειράς της μαγείας τετράγωνο, γιορτάζει ο ολοκλήρωση του Αυτό αριστούργημα. Ντύρερ, ένα Γερμανός καλλιτέχνης και μαθηματικός των πραγμάτων σχετικά με την προοπτική και την αναλογία, μοιράστηκε με τους θεωρητικούς Ιταλούς συγχρόνους του μια φιλοσοφία της τέχνης και μια θεολογία της εσωτερικής ζωής που έφερε επανάσταση στην Ευρώπη της Μεταρρύθμισης.
Η εικόνα του Dürer για την εσωτερική ζωή προβλέπει τις παράδοξες χαρές των μαθηματικών αληθειών που ενημερώνουν ακόμη και τη μουσική. Εξετάστε την εμπειρία σας για το πώς ένα κοντσέρτο Μπαχ ή μια σονάτα Μότσαρτ εμβαθύνει την αντίληψή σας για την πραγματικότητα. Η δομή της μουσικής είναι μαθηματική, όπως έδειξε για πρώτη φορά ο Πυθαγόρας. Έτσι συμβαίνει με τα ανθεκτικά αντικείμενα των μαθηματικών που κυμαίνονται από τη μουσική στην τέχνη και πέρα από την πολιτιστική και φυσική επιλογή και μετά στην κοσμολογία που περιγράφει τον συμμετρικό σχηματισμό της ύλης στην αρχή του σύμπαντος.
Οι συμμετρικοί σχηματισμοί της ύλης εκφράζουν την ομορφιά στα μαθηματικά. Η έννοια της ομάδας εκφράζει συμμετρία στα μαθηματικά. Τι είναι μια ομάδα; Εξετάστε οποιοδήποτε αντικείμενο, συγκεκριμένο ή αφηρημένο. Μια συμμετρία του αντικειμένου - μαθηματικά, ένας αυτομορφισμός - είναι μια χαρτογράφηση του αντικειμένου στον εαυτό του που διατηρεί όλες τις ιδιότητές του. Το γινόμενο δύο συμμετριών, η μία ακολουθούμενη από την άλλη, είναι επίσης μια συμμετρία και κάθε συμμετρία έχει ένα αντίστροφο που την αναιρεί. Οι συμμετρίες ενός τετραγώνου μπορούν να επιτευχθούν περιστρέφοντάς το κατά 90 μοίρες ή ανακλώντας το στον κάθετο άξονα. Οι μαθηματικοί θεωρούν ότι οι ομάδες ψέματος (προφέρεται lee ) είναι ένα όμορφο συνεχές θεμέλιο για ένα μεγάλο μέρος των μαθηματικών, καθώς και για τη φυσική επίσης. Εκτός από τις συνεχείς ομάδες ψεύδους, υπάρχουν μη συνεχείς πεπερασμένες και διακριτές ομάδες. ορισμένα είναι διαθέσιμα από τις ομάδες Lie με αναγωγή σε ένα πεπερασμένο ή διακριτό περιβάλλον.
Όποιος χαζεύει τον λαβύρινθο της εσωτερικής διακόσμησης γνωρίζει τις φοβερές συμμετρίες των ταπετσαριών στους τύπους πλέγματος μαθηματικών πλακιδίων για το παραλληλόγραμμο, το εξάγωνο, το τρίγωνο, το ορθογώνιο, το τετράγωνο και τον ρόμβο, σε διάφορες περιστροφές και άξονες αντανάκλασης. Σε αντίθεση με τις πλαγιές, οι οποίες είναι περιοδικές, υπάρχουν επίσης απεριόδεις παρόμοιες ομοειδείς κρυσταλλικές επικαλύψεις που ονομάζονται πλακίδια Penrose, που πήραν το όνομά τους από τον ανακαλυφτή τους, μαθηματικό και φυσικό Roger Penrose. Ενώ ο αριθμός των διακριτών τύπων πλέγματος είναι πεπερασμένος - υπάρχουν ακριβώς 17 από αυτούς - υπάρχει μια συνέχεια διακριτών πλακιδίων Penrose. Αλλά από την ομοιότητα του εαυτού, κάθε κομμάτι από ένα κεραμίδι Penrose εμφανίζεται απείρως πολλές φορές σε κάθε άλλο πλακάκι Penrose! Οι κλίσεις Penrose ήταν μια μεγάλη έκπληξη για τους μαθηματικούς, καθώς οι φασματικές τους ιδιότητες μοιάζουν με σημεία, που μοιάζουν με τα μοτίβα περίθλασης ακτίνων Χ με φυσικούς κρυστάλλους.
Ακόμη πιο εκπληκτική ήταν η βραβευμένη με Νόμπελ ανακάλυψη από τον Daniel Schechtman ότι οι κρυσταλλικοί κρύσταλλοι υπάρχουν στη φύση ως πενταπλές συμμετρίες απεριωδικών κραμάτων ορισμένων μετάλλων. Ο φυσικός Paul Steinhardt, ένας από τους ανακαλυφτές των οιονεί κρυστάλλων, έχει δείξει υπέροχα τη σχέση τους με την εκπληκτική ομοιότητα μεταξύ των πλακιδίων Penrose και των πρώιμων μεσαιωνικών ισλαμικών ψηφιδωτών, ή των πλακών Girih. Φανταστείτε ότι έξι αιώνες πριν από την Penrose, Ισλαμιστές καλλιτέχνες και αρχιτέκτονες εισήγαγαν μοτίβα πενταγώνου και δεκαγώνου, πλακίδια μερικών πενταγωνικών συμμετριών που εκφράζουν την εύθραυστη ομορφιά της διαχρονικής τέχνης. Αυτές οι αφηρημένες λεπτότητες στα μαθηματικά είναι εργαλεία για την περιγραφή της φύσης και των έργων τέχνης, όπως οι πλαγιές Girih και Penrose, που γίνονται απλά με δύο βασικά ρομβικά κεραμίδια, ένα στενό και ένα πλατύ, σε ακριβή σχήματα που συνδέονται με τη χρυσή τομή, το πεντάγωνο και τα πεντάγωνα των αστεριών. Το Τα μαθηματικά εργαλεία περιγραφής μας βοηθούν να δούμε τις κατά τα άλλα κρυμμένες καθολικές δομές στη φύση, τη χρυσή τομή, το πεντάγωνο των αστεριών, καθένα από τα οποία δημιουργεί τυπικούς κανόνες ακριβείας στην κοινωνική αφαίρεση από καθαρά μαθηματικά έως αφηρημένη τέχνη.
Πεπερασμένες ομάδες συμμετριών, όπως οι συμμετρίες ενός τετραγώνου ή ενός κύβου, αψήφησαν την ταξινόμηση για μεγάλο χρονικό διάστημα έως ότου οι μαθηματικοί ταξινόμησαν επιτυχώς όλες τις πεπερασμένες απλές ομάδες. Το θεώρημα ταξινόμησης είναι μια απόδειξη ότι σήμερα εκτείνονται περισσότερες από 3.000 σελίδες και χρειάστηκαν πάνω από 40 χρόνια από τις συλλογικές προσπάθειες περισσότερων από 100 μαθηματικών. Αυτό το θεώρημα φέρνει τάξη στη θεωρία των πεπερασμένων ομάδων. Οι απλές ομάδες είναι σημαντικές γιατί αποτελούν ένα είδος θεμέλια λίθου από την οποία είναι χτισμένη κάθε πεπερασμένη ομάδα. Για παράδειγμα, μια ομάδα περιστροφών ενός πολυγώνου με 15 πλευρές μπορεί να επιτευχθεί με συνδυασμένες περιστροφές 120 μοιρών και περιστροφές 72 μοιρών, με τις τελευταίες να δημιουργούν απλές ομάδες. Εναλλασσόμενες ομάδες, ξεκινώντας από την εικοσαεδρική ομάδα και πεπερασμένες ομάδες τύπου Lie, σχηματίζουν οριστικά πολλές οικογένειες απλών ομάδων, αλλά με απείρως πολλά μέλη σε κάθε οικογένεια. Ως κλασικές ομάδες ψέματος, συνδέονται στενά με συμμετρίες των υποκείμενων γεωμετριών. Υπάρχουν επίσης 26 εξαιρετικές ομάδες, σε αντίθεση με τις ομάδες τύπου Lie, γνωστές ως σποραδικές ομάδες. Δύο σποραδικές ομάδες είναι σχετικές εδώ: η ομάδα συμμετρίας Conway, που πήρε το όνομά της από τον John Conway, οι συμμετρίες (έως και μια αντανάκλαση) ενός πολύ αξιοσημείωτου πλέγματος σε 24 διαστάσεις, το πλέγμα Leech. και η ομάδα Fischer – Griess F1 , αποδείχθηκε ότι υπήρχε από τον RL Griess κατά την επίσκεψή του στο Ινστιτούτο Προηγμένων Μελετών. Επίσης ονομάστηκε το τέρας από μαθηματικούς, η ομάδα Fischer-Griess είναι η μεγαλύτερη, γιγαντιαία σποραδική ομάδα που περιέχει
808017424794512875886459904961710757005754368000000000
στοιχεία. Περιέχει μέσα του 21 από τις 26 σποραδικές ομάδες και η ομάδα Conway είναι μία από αυτές! Με μια εντελώς απροσδόκητη εξέλιξη από την περίεργη αριθμολογία 196883 + 1 = 196884, όπου το 196883 είναι ένας κρίσιμος αριθμός που απαιτείται για την περιγραφή του Τέρατος και το 196884 είναι ένας άλλος αριθμός-από την 150χρονη μελέτη των ελλειπτικών και αυτομορφικών λειτουργιών-το Τέρας έχει τώρα εξημερώθηκε από τη σαφή σύνδεσή του με πολλά ξεχωριστά πεδία στα μαθηματικά και στη μαθηματική φυσική. Δεν είναι όμορφο ότι η επίμονη συνεργασία μαθηματικών θα δαμάσει το Monster F1 ;
Περισσότερα θα μπορούσαν να ειπωθούν για την ομορφιά στα μαθηματικά, από την εύθραυστη διαδικασία ισχυρής αξιολόγησης από ομότιμους μέχρι οποιαδήποτε συναίνεση για το τι είναι επαληθεύσιμα αληθινό και όμορφο. Ακόμα και το πιο απλό πράγμα στα μαθηματικά, δηλαδή η ακολουθία αριθμών 1, 2, 3,. Το Το από το οποίο όλα τα μαθηματικά πήραν ζωή, περιέχει μέσα του ένα βαθύ μυστήριο, την ακολουθία 2, 3, 5, 7,. Το Το των πρώτων αριθμών που αποτελούν τα δομικά στοιχεία του πολλαπλασιασμού. Οι μαθηματικοί έχουν ήδη αποκαλύψει όμορφες σχέσεις μεταξύ των ιδιοτήτων των πρώτων αριθμών, ορισμένοι που έχουν εδραιωθεί. Αλλά οι πιο σημαντικές σχέσεις εξακολουθούν να είναι υποθετικές, δημιουργώντας ανοιχτά ερωτήματα στην ανάλυση, τη γεωμετρία, ακόμη και τη φυσική. Η κατοικία εδώ θα ξεπερνούσε το σημερινό μας πεδίο, οπότε ολοκληρώνουμε τη λίστα με τα όμορφα παραδείγματα με μια διάσημη κατασκευή που συνδέει τα μαθηματικά με τη λογική και τη φιλοσοφία.
Οι μαθηματικοί αναζητούν πάντα μια όμορφη απόδειξη, ποτέ δεν ικανοποιούνται γνωρίζοντας μόνο ότι κάτι ισχύει. Θέλουν να μάθουν γιατί είναι αλήθεια. Πάρτε τη συνέχεια, μια αρχαία πηγή αντιπαράθεσης μεταξύ των Ελλήνων φιλοσόφων όπως ο Ζήνων, το παράδοξο του που προκύπτει από την άπειρη διαιρετότητα. Ο George Cantor έδωσε έναν ακριβή μαθηματικό ορισμό της συνέχειας που αντικατοπτρίζει την αφελή μας άποψη ότι είναι το σύνολο όλων των αριθμών, γραμμένο με δεκαδικό συμβολισμό ως ακέραιο, ακολουθούμενο από άπειρη ακολουθία δεκαδικών ψηφίων, όχι όλα ίσα με 9 από κάποιο σημείο και μετά. (Ο ορισμός του Κάντορ είναι απίστευτα κοντά στην αντίληψη του Ευδόξου για έναν αριθμό.)
Ο Κάντορ παρήγαγε ένα διάσημο διαγώνιο επιχείρημα γνωστό ως θεώρημα του Κάντορ για την αμέτρητη συνέχεια. Αυτή η ισχυρή απλή απόδειξη δείχνει ότι η συνέχεια, δηλαδή όλοι οι πραγματικοί αριθμοί μεταξύ 0 και 1, δεν μπορούν να καταχωρηθούν σε μια λίστα ως πρώτη, δεύτερη, τρίτη κ.ο.κ. Επομένως, η συνέχεια είναι αμέτρητη. Ας υποθέσουμε με αντιπαράδειγμα ότι μπορεί να μετρηθεί σε μια άπειρη λίστα:
0,643546675432534645600112. Το Το
0.100053453647545546043860. Το Το
0,000000000000100004534237. Το Το
0,999999999961045674732017. Το Το
0,222955600333054564501179. Το Το
0,141592653589793238462643. Το Το
0,77777777777777777777777777. Το Το
0,421047542507075505555001. Το Το
0,77777777177777777777777777. Το Το
0,77777777717777777777777777. Το Το
0,010010001000010000010000. Το Το
0,099999999999999990000000000. Το Το
Ο διαγώνιος δείκτης είναι 0,600952741109. Το Το , το ένατο ψηφίο του ένατου αριθμού. Εάν αλλάξετε κάθε ψηφίο του διαγώνιου αριθμού, το αποτέλεσμα δεν μπορεί να είναι σε καμία σειρά. επομένως δεν περιλαμβάνεται στη λίστα. Μια όμορφη απόδειξη! Γιατί; Επειδή αποδεικνύεται καθολικά ότι υπάρχουν διαφορετικά είδη άπειρου, το άπειρο θετικών ακέραιων αριθμών 1, 2, 3,. Το Το και το άπειρο του συνεχούς 0_______1. Διαισθητικά αποδεικνύει ότι υπάρχει ένα διακριτό άπειρο που είναι διαφορετικό από το άπειρο του συνεχούς, όπως μια ευθεία. Το διαγώνιο επιχείρημα του Κάντορ δεν περιορίζεται σε αυτό το θεώρημα. έχει γίνει ένα ισχυρό εργαλείο επίσης στη μαθηματική λογική, στη φύση του απείρου και στην επιστήμη των υπολογιστών, στη φύση της πολυπλοκότητας. Σκεφτείτε τις εκπληκτικές μαθηματικές συνέπειες του θεωρήματος του Κάντορ για την ευκλείδεια γεωμετρία. Οι φιλοσοφικές συνέπειες έχουν κλονίσει αμετάκλητα τα θεμέλια της ανάλυσης και οποιαδήποτε εκ των προτέρων συνθετική κρίση που διαψεύδει την άρνηση του Χιουμ ότι είναι δυνατή η πραγματική γνώση οποιασδήποτε μεταφυσικής.
Ο Κάντορ έδειξε ότι το μετρήσιμο άπειρο θετικών ακέραιων αριθμών είναι μικρότερο από το άπειρο του συνεχούς. Η περίφημη υπόθεση της συνέχειας είναι η παραδοχή ότι δεν υπάρχει άπειρο μεγαλύτερο από το μετρήσιμο άπειρο και μικρότερο από το άπειρο του συνεχούς. Η τεχνική κατάσταση είναι η εξής: Ο Gödel απέδειξε ότι η υπόθεση της συνέχειας δεν μπορεί να διαψευστεί από τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων. Ο Paul Cohen απέδειξε ότι δεν μπορεί να αποδειχθεί. Έτσι, η υπόθεση της συνέχειας είναι ανεξάρτητη από τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων. δεν μπορεί ούτε να αποδειχθεί ούτε να διαψευσθεί. Η φιλοσοφική συνέπεια είναι ότι η αξία της αλήθειας της υπόθεσης της συνέχειας είναι αβέβαιη, ή στην καλύτερη περίπτωση, απροσδιόριστη. Ο Καντ πίστευε ότι τα αξιώματα της ευκλείδειας γεωμετρίας ήταν αληθινά. Τώρα όμως γνωρίζουμε ότι δεν υπάρχουν και μη -εκκλησιαστικές γεωμετρίες. Επιπλέον, ο John Conway πρότεινε ότι υπάρχουν απροσδιόριστοι απλοί μαθηματικοί ισχυρισμοί που δεν απορρέουν από τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων. Ποια είναι, λοιπόν, η αλήθεια στα μαθηματικά; Υπάρχει κάποια θεμελιώδης διαφορά μεταξύ του να γνωρίζουμε αν τα αξιώματα της ευκλείδειας γεωμετρίας είναι αληθινά και να γνωρίζουμε αν η υπόθεση της συνέχειας είναι αληθινή; Σε κάθε περίπτωση, βλέπουμε ότι η αλήθεια είναι εγγενώς εύθραυστη και δεν πρέπει να ταυτίζεται με την απουσία αντίφασης.
Ο αξιωματικός συλλογισμός και η κατασκευή του καθενός έχουν διαφορετικό είδος ευθραυστότητας. Οι κονστρουκτιβιστές και οι διαισθητικοί θέτουν ισχυρά όρια στο τι μπορεί να γίνει, ενώ ο αξιωματικός συλλογισμός μπορεί να αποδείξει μόνο την ύπαρξη ενός αντικειμένου χωρίς μέθοδο κατασκευής του. Δηλαδή, η αξιωματική συλλογιστική μπορεί να δείξει ότι η υπόθεση ότι το αντικείμενο δεν υπάρχει οδηγεί σε αντίφαση. Το διαγώνιο επιχείρημα του Κάντορ αποδεικνύει ότι η συνέχεια δεν είναι ευδιάκριτη. δεν λέει τίποτα, ωστόσο, για τη δομή της συνέχειας. Επίσης, ο κονστρουκτιβισμός υποστηρίζει ότι ο εποικοδομητικός συλλογισμός είναι σωστός. Αλλά η πρακτική της μεγάλης πλειοψηφίας των μαθηματικών είναι να χρησιμοποιήσουν μη εποικοδομητικό αξιωματικό σκεπτικό και στη συνέχεια να διερευνήσουν τις δυνατότητες κατασκευής που μπορεί απλά να είναι θέμα γούστου.
Ο Χιουμ ήταν ο σκεπτικιστής προφήτης της γεύσης που προμήνυε το ρόλο του υποκειμένου - του εαυτού - στην αντίληψη της ομορφιάς ως το υψηλότερο αγαθό της αισθητικής απόλαυσης. Πολύ πριν ο Φρόιντ καθιστούσε την αρχή της ευχαρίστησης σταθερό κανόνα της ανθρώπινης πρόθεσης, ο Χιουμ είχε κάνει την αισθητική απόλαυση το πρότυπο ομορφιάς που επαληθεύεται στα στοιχεία των αισθήσεων. Αλλά η αισθητική του Καντ για αντικείμενα πριν από την αντίληψη της ομορφιάς - και της αλήθειας - αναθεώρησε αυτή τη σχέση μεταξύ φυσικής και μη φυσικής πραγματικότητας. Ο Καντ ο πλατωνιστής έκανε την ομορφιά από μόνη της την αποκαλυφθείσα εκπομπή της μαθηματικής αλήθειας και των καθαρών μεταφυσικών μορφών ή αντικειμένων. Πώς μπορεί να επαληθευτεί η αλήθεια ως ομορφιά εάν είναι μια αποκάλυψη από τη σφαίρα των καθαρών μορφών του Πλάτωνα; Με ποια στοιχεία των αισθήσεων επαληθεύετε μια αποκάλυψη; Και είναι αξιόπιστα επαληθεύσιμες οι αισθήσεις; Είναι η αντίληψη της ομορφιάς μια απλή προβολή της επιθυμίας ευχαρίστησης να αποτρέψει ή να καταστείλει τον πόνο; Είναι ένα πραγματικό μαθηματικό αντικείμενο φυσικό ή όχι; Τι είναι ένα πραγματικό αντικείμενο; Η μαθηματική επαλήθευση της αλήθειας συμμετέχει στη φυσική πραγματικότητα επειδή ανακαλύπτεται ή επειδή επινοείται από την κουλτούρα των ανθρώπινων έργων και τις εύθραυστες διαδικασίες πολιτιστικής επιλογής; Μήπως μια απόδειξη σώζει πραγματικά την εμφάνιση καθαρών μορφών που ανακαλύφθηκαν σε μια μυστικιστική σφαίρα όμορφων αντικειμένων;
Ανάλογες ερωτήσεις στην τέχνη, την ποίηση, τη μουσική και την ιστορία ενημερώνουν το ζήτημα της ομορφιάς λόγω του βαθιά προσωπικού της ρόλου στη διαμόρφωση των ανθρώπινων έργων και των ανθρώπινων αξιών. Οι μαθηματικοί εργάζονται σαν ποιητές ή ζωγράφοι: η διαφορά είναι ότι ένα δωμάτιο μαθηματικών που εξετάζει ένα πρόβλημα παίρνει την ίδια απάντηση μέσα σε μια κοινότητα που εκτιμά και απαιτεί συναίνεση. Η κατασκευή μαθηματικών αντικειμένων από άτομα είναι εύθραυστη. Αυτά τα αντικείμενα από μόνα τους, ωστόσο, είναι στιβαρά λόγω των ανθεκτικών κοινωνικών κανόνων αξιολόγησης από ομοτίμους και συναίνεσης. Όπως οι ποιητές, οι ζωγράφοι και οι συνθέτες μουσικής, οι μαθηματικοί έχουν το δικό τους στυλ και τεχνική. Αλλά η μαθηματική αλήθεια δεν είναι απλώς μια συλλογή θεωρημάτων, όσο η ζωγραφική είναι μια απλή συλλογή χρωστικών. Για τους μαθηματικούς, όπως απέδειξε ο Τάρσκι, τα θεωρήματα είναι καθιερωμένες αλήθειες, που προκύπτουν από μια εύθραυστη κατασκευή αποδείξεων που οδηγεί σε συναίνεση επαλήθευσης. Η διαδικασία από εύθραυστη κατασκευή έως ισχυρή επαλήθευση δεν περιγράφει μόνο τις κοινωνικές νόρμες της μαθηματικής κοινότητας. επισημαίνει επίσης τη σταδιακή διάκριση των σχέσεων μεταξύ των μαθηματικών αντικειμένων μιας απόδειξης.
Οι μαθηματικοί, μερικές φορές ακούσια, τείνουν να αποδέχονται την έννοια του Wittgenstein για την όψη - τη χρονική αντίληψη των εσωτερικών σχέσεων ενός αντικειμένου - ως ουσιαστικό μέρος των μαθηματικών. Αυτό συμβαίνει επειδή οποιαδήποτε δεδομένη πτυχή, στοιχείο ή ιδιότητα σχέσεων μεταξύ αντικειμένων ή αποδείξεων ξεδιπλώνεται απροσδιόριστα υπό το μεταβαλλόμενο φως αντίληψης, όπως και η σχέση των αντικειμένων τείνει να αλλάζει καθώς κοιτάζετε έναν πίνακα. Ένα ποίημα, μια συμφωνία, ένας πίνακας ή μια γραπτή αφήγηση καθορισμένη στο χρόνο δεν αλλάζει ποτέ, αλλά ο τρόπος που διαβάζετε ένα κείμενο ή ακούτε μουσική ή κοιτάτε την τέχνη αλλάζει με χρονικές μεταβολές στο συναίσθημα, τη γεύση ή τις γωνίες του φωτός και του χώρου που καθιστούν τη συναίνεση άυλη. Η ιστορία της αλήθειας γίνεται ανεξάρτητα από την ομορφιά ή την καλοσύνη των γεγονότων της επιστημονικής αναπαράστασης, παρόλο που οι ιστορικοί εκτιμούν την ισχυρή συναίνεση σε εύθραυστες ιστορικές αλήθειες ως αντικείμενα και σχέσεις πραγματικής ανάλυσης. Η ποίηση σπάνια γράφεται τώρα για να είναι όμορφη ή έστω απαραίτητα αληθινή, αλλά μάλλον για να ικανοποιήσει μια ισχυρή προ-λεκτική συνείδηση του τρόπου με τον οποίο τα πράγματα αλλάζουν από το ποίημα εκτός από τυπική ανάλυση της όψης. Παραθέτοντας Keats,
«Η ομορφιά είναι αλήθεια, αλήθεια ομορφιά, - αυτό είναι όλο
Ξέρετε στη γη και όλα όσα πρέπει να γνωρίζετε ».
